含无穷远点区域的柯西积分公式及其推广

柯西积分公式是复变函数论中的重要公式之一。首先用极限方法给出并证明了含无穷远点区域的柯西积分公式;然后采取添加积分路径的方式,将含无穷远点区域转化为有限区域研究,再取极限将有限区域扩展为含无穷远点区域的方法,将含无穷远点区域的柯西积分公式推广到被积函数含多个极点的情况。计算实例表明,含无穷远点区域的柯西积分公式及其推广形式适用有效,方便积分的计算。     

微分中值定理的推广及应用

拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式,拓宽了罗尔中值定理的使用范围。同时,用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。     

高阶方向导数与乘积函数高阶导数的形式一致性探讨

推导了乘积函数的高阶导数和高阶方向导数的计算,并对两者进行比较,得出了其形式一致性的结果。     

刍议分段函数在分段点处的导数

在讨论分段函数在分段点处的导数时,初学者往往容易对分段点2边的函数表达式利用导数的基本公式和运算法则求导,然后分别取极限来判定。分析了利用导数的基本公式讨论分段函数在分段点处的导数中存在的问题,并给出了该方法可行性的特定条件。     

一元奇偶函数在对称区间上积分公式的推广

本文将一元奇仍函数在对称区间上的积分公式进行了推广。得到了相应的五个公式,并给出了一些公式的证明,以简化某些积分的计算。     

曲面上一类闭曲线的旋转指标公式

通过考虑闭曲线的简单分解,得到具有简单分解的闭曲线环绕数的旋转指标表示.给出了函数在具有简单分解的闭曲线所界定的区域上的积分表示.应用上述积分公式以及 Gauss-Bonnet公式,将平面闭曲线旋转指标的曲率积分表示推广到曲面的情形.     

Henstock积分Newton-Leibniz公式的简捷证明

Newton-Leibniz公式是微积分学基本定理的一个重要应用,其建立了定积分与被积函数的原函数之间的联系,使得计算定积分问题从求和式的极限转化为求被积函数的原函数值差的问题。在Riemann积分、Lebesgue积分、Newton积分和δ(x)精细分划的基础上,建立了Henstock积分有关的基本概念,简述了Henstock引理及其证明,由此给出Henstock积分中的Newton-Leibniz公式,并给予简捷证明。     

变量替换法在高等数学解题中的应用

探讨了变量替换法在高等数学解题如极限、导数、积分、重积分、微分方程以及抽象函数求解中的应用.     

矢量基尔霍夫公式的证明过程中存在的纰漏及严格证明

揭示了在各类经典著作中,矢量基尔霍夫公式证明过程中具示范性、普遍性的错误,对其来源、特征进行了剖析,理清了证明的线索,突破了证明过程中的核心障碍.指出:1)矢量基尔霍夫公式的成立条件是被积函数在积分区域上具有连续二阶偏导数; 2)作为一个积分定理,其证明无法直接在微分尺度进行.同时,矢量微分算符在自然坐标系中的表达须特别注意基矢选择及变换,尤其针对积分曲面与等势面的法向量.     

SPOT 5卫星影像测绘能力分析

应用多复变函数的值分布理论与技巧,讨论了一类高阶代数偏微分方程的可允许解,建立了高阶偏微分方程的Malmquist型定理,并推广了有关文献的结论.     

一个新的求解常微分方程的四阶一步法

求解一个常微分方程初值问题ｙ′＝ｆ（ｘ，ｙ），ｙ（ｘ０）＝ｙ０的数值方法可分为两类，其中一类是一步法，目前提高一步法的阶数都是通过使用高阶导数来实现的，比如要得到一个四阶一步法，在其计算公式中就需使用函数ｆ（ｘ，ｙ）的直到三阶的偏导数，才能保证方法为四阶方法，由于一般情况下求ｆ（ｘ，ｙ）的高阶导数都是相当麻烦的，这就使得高阶一步法在实际应用中受到很大程度的限制。本文给出了一个不需要使用ｆ（ｘ，ｙ）     

反函数在高等数学中的应用归纳

从极限、导数、积分、常微分等多方面对反函数的应用进行归纳，同时在较弱的条件下，给出利用反函数求导、求不定积分和定积分的相关定理，改进和推广了相关文献中的结果。     

欧拉积分余元公式的证明及应用

欧拉积分余元公式在很多《数学分析》教材中并没有列出,原因是证明复杂,但其在反常积分计算中的作用十分重要。结合幂级数与傅里叶级数及复变函数中的留数给出了2种证明余元公式的方法,并列举了其在反常积分计算中的应用。     

解析函数的等价刻画及其应用

本文给出柯西、柯西-黎曼、外尔斯特拉斯、莫勒拉定义解析函数的等价性,并讨论了解析函数在证明代数基本定理的应用。     

含积分式方程的解的研究

目的探寻对含有积分式的方程求解的方法。方法利用定积分的存在性,若函数在某闭区间上定积分式存在,则必为一常数,其导数为零。以及积分上限函数是被积函数的原函数这一理论对方程进行取积分或求导。结果若方程只含有定积分,则(1)方程可以直接求导可求得解;(2)直接取定积分,可把定积分求得,从而解得方程。若方程含有积分变限函数,则方程可以直接求导可求得解。结论从定积分概念及其积分变限函数的特性入手,逐一进行探索寻觅解决问题的思维方式和思路,并给出解决的方法。     

反常积分∫=0 ^＋∞e^-x^2 dx的几种计算方法

由于初等函数ex2的原函数不再是初等函数,对积分∫=a ^be^-x^2 dx的计算无法使用牛顿-莱布尼兹公式。介绍了无穷限积分∫=0 ^＋∞e^-x^2 dx的3种计算方法：二重积分法、含参量反常积分法和特殊函数法。     

高等数学学习中的迁移问题

高校数学教师在教学过程中可能会遇到这样的情况 :在学习线性代数部分时 ,当学过二、三阶行列式的计算方法之后 ,学生认为高阶行列式的展开也采用对角线法则。事实上 ,对角线法则不适于高阶行列式的展开。当学过矩阵的加法运算之后 ,有同学会写出这样的算式 :1111+ 2 22 2 =3333如果只考虑算式的恒等性 ,该等式没有问题 ,但运算方法显然存在借鉴矩阵加法运算的嫌疑。再如微积分学中 ,由基本求导公式可以推出积分基本公式。微分运算的基本求导公式中有 :(Inx) ′=1x ,于是 ,在讲积分基本公式的时候 ,有同学就把 1x 的积分写成 :∫ 1xdx =Inx…     

AR凸函数的Hermite-Hadamard型不等式

建立AR凸函数的积分不等式,特别是Hermite-Hadamard型不等式.利用通常凸函数与AR凸函数的关系,证明了AR凸函数的单侧导数的存在性和单调性,并通过不等式建立了AR凸函数与其单侧导数的关系.从AR凸函数的定义出发,得到了AR凸函数的Hermite-Hadamard型不等式.利用AR凸函数与其单侧导数的关系,使用数学分析的方法,研究了由AR凸函数的Hermite-Hadamard型不等式生成的差值.利用AR凸函数与其单侧导数的关系,构造了与AR凸函数有关的单调函数,从而给出AR凸函数的定积分的上界和下界.另外,利用AR凸函数与其单侧导数的关系,还建立了AR凸函数的其他的积分不等式.     

平面曲线曲率计算公式的探讨

根据平面曲线曲率的定义,利用复合函数和含参变量函数求导数的公式证明了平面曲线的曲率计算公式,体现了数学定义的严肃性和定理证明的严密性。     

泰勒公式中中值位置的研究

泰勒(Taylor)公式在微分学中占有十分重要的地位,它建立了函数增量、自变量增量与函数导数之间的关系。本文对泰勒公式中中值的位置进行了探讨,发现了在一定条件下泰勒公式中的中值有相对固定的位置。