基于上极限的幂级数收敛半径不变性质的证明

运用上、下极限的理论,建立了数列上极限妁2个引理。应用这2个引理,给出了幂级数逐项微分、逐项积分后收敛半径不变的性质定理的一个新证明．新证法较之原方法更为简明。     

利用闭区间套定理证明重要极限的存在性

引入两个具有严格单调性的辅助数列,构造闭区间套,利用闭区间套定理和两边夹定理对数列{(1 1/n)n}极限存在性给出一种新的证明方法.     

PA序列Davis大数定律的精确渐近性

设{Xi;i≥1}是一严平稳零均值PA随机变量序列,EX1^2〉0,σ^2=EX1^2＋2 ^∞∑j=2 EX1Xj,并且0〈σ^2〈∞.令Sn=^n∑i=1 Xi,n≥1.利用部分和Sn的弱收敛定理,证明了当ε→0时,^∞∑n=1 （logn）^δ/n P{Sn≥ε√nlogn}的精确渐近性成立.     

二重B-值随机Dirichlet级数的收敛性

主要研究了B-值随机变量列{Xmn（ω））在某阶矩一致有界条件下的性质，得到了在一定的条件下，指数也是随机变量的二重B一值随机Dirichlet级数∞∑m=1∞∑n=1amXmn（ω）e^-λ（ω）ta.s.与级数∞∑m=1∞∑n=1ame^Eλms-Eμnt有相同的成对的相关收敛横坐标的结论。     

三角函数表示级数封闭形和式

应用复变函数的方法,讨论级数:∑n=-∞n=∞1/n+z;∑-∞∞(-1)n/n+z;∑n∈z1/n+z/2;∑n∈z1/n3+c3的和式问题,推导出这类级数封闭形和式的三角函数表达形式,并应用留数定理作出证明。     

关于Smarandache-Pascal数列的几个猜想

对任意数列{bn},它的Smarandache-Pascal数列是通过{bn}定义的一个新的数列{Tn},其中T1 =b1,T2 = b1 b2,T3 =b1 2b2 b3.一般地,当n≥2时,Tn 1 = ∑ n k=0 Ck n·bk 1,其中Ck n = n! k! (n-k)! 为组合数.利用初 等方法以及组合数和Fibonacci数的性质研究并解决猜想:设{Tn}是由{bn}= {F8n 1}= {F1,F9,F17,…}生成的 Smarandache-Pascal数列,则有恒等式Tn 1 ≡49(Tn -Tn-1),其中n≥2.     

一个数论命题及其应用

建立了如下数论命题：设p，q∈N＋，0〈∈〈q，（∈，q）=1，则任意N∈N＋， n〉N与j（0〈j〈q），使得（np＋j，nq）=1。并利用该命题给出了《数学分析》中一道习题的证明。     

关于“时滞直接控制系统的绝对稳定性”一文的注记

拙作“时滞直接控制系统的绝对稳定性”(湖南大学学报,15卷,第1期,174～179页)定理1的证明中用到Y(t_2)=0,这是不能成立的,有反例表明该定理不能成立。但该定理可修改成如下形式:“设n=1,即A=e,b、c为常数,cb≤0,σf(σ)≤Kσ~2,K为正数,则系统(1)在角域[0,K_0]内绝对稳定的充分必要条件为ρ<0。”该文定理2与定理3也应作相应的修改。     

一道国际数学征解问题的推广

给出了反正切级数∞∑n=1，arctan1/n2的求和方法，对其进行推广，并分别得到了3种推广情况的求和结果。     

k阶极大型差分方程组正解的周期性质

目的差分系统是描述离散系统的数学模型,是动力系统的一个重要分支,其理论应用正迅速扩展到经济、生态学、物理学、工程、控制理论、计算机科学等各个领域。研究下列极大型差分方程组正解的周期性:x_(n+1)=max{A_n/y_(n-1),x_(n-1),y_(n-k)},yn+1=max{Bn/x_(n-1),y_(n-1),x_(n-k)},n=0,1,…。其中,N_0∈N∪{0},(A_n)_(n∈N_0)和(B_n)_(n∈N_0)是正二周期数列,初始条件x_0,x_(-1),…,x_(-k),y_0,y_(-1),…,y_k∈(0,+∞)。方法运用数学归纳法对k,分别是奇、偶解子列的运动规律进行讨论。结果最终证明对于任意的非负整数k,差分方程组的每个正解都是终于二周期的。结论此结果推广了极大型差分方程组的研究,更具普遍性。     

一类对偶三角函数级数封闭形和式

利用已知级数公式,使用复变函数方法和幂级数公式给出了一类对偶三角函数级数封闭形和式∑∞k=1tkcos(pk+s)xk,∑∞k=1(-1)k+1tkcos(pk+s)xk,∑∞k=0t2k+1cos(2k+s)x2k+1,∑∞k=0(-1)kt2k+1cos(2k+s)s2k+1和∑∞k=0(-1)k4k(2kk)cos(2k+s)x2k+1。     

解析几何中矩阵秩的应用

<正>矩阵秩是代数中的基础概念,将它的理论推广到解析几何中,会收到很好的效果,下面就是矩阵秩关于解析几何的几个定理及其应用.定理1已知平面π_1:a_1x+b_1y+c_1z=d_1与平面π_2:a_2x+b_2y+c_2z=d_2,设线性方程组a_1x+b_1y+c_1z=d_1 a_2x+b_2y+c_2z=d_2\ (1)n阵为A,增广矩阵为(?),则:①若秩(A)=秩(?)=2,平面π_1与π_2相交于一条直线;②若秩(A)=秩(?)=1,平面π_1与π_2重合;③若秩(A)=1,但秩(?)=2,平面π_1与π_2平行.证明 考虑线性方程组(1)①若秩(A)=2,且秩(?)=2,此时方程组(1)有解,设它的一个特解为γ_0=(x_0,y_0,z_0),它的导出     

统一简化证明数学分析中的定理

引入了可分命题和可分命题定理,利用该定理统一证明数学分析中的定理,极大简化了这些定理的证明过程.     

一个重要极限的证明,近似计算及其误差估计

建立了3个数列的不等关系,然后用以证明了重要极限lim(1 1/n)~n=e的存在性,利用得出的结论,给出e的近似计算和误差估计的方法,把极限的证明、近似计算和误差估计结合起来。     

Fermat大定理的初等证明

目的探寻费尔马大定理的初等证明。方法利用二项式定理展开式、代数方程根与系数的关系,及其初等数论的知识,采用反证的方法,用初等方法对费尔马大定理进行论证。结果费尔马大定理对任意的正整数n2时,不定方程x~n+y~n=z~n没有正整数解。结论费尔马大定理可以用初等方法直接证明其结论的正确性。避弃了烦琐的间接初等证明法,避开了高深的高等解法,在学习和应用时给出了解决问题的思维方式和思路。     

幂级数逐项求导,逐项积分后收敛域的讨论

本文给出了幂级数逐项求导、逐项积分后的收敛域与逐项求导、逐项积分前的幂级数收敛域的关系及其应用。     

Riemann Zeta函数ζ(s)的一种推导方法和证明

首先应用三角函数、双曲函数以及二者乘积的级数展开式,证明Riemann Zeta函数ζ(s)(s为偶数)时的一系列表达式,并得到一个表达形式较为简单的递推公式;同时应用此方法得到∑∞n=1coth(πz)n4p+3(p为正整数)时的一个递推公式,并应用留数基本定理逐一证明。     

一类带权微分系统特征值的研究

目的研究微分方程的特征值问题是数学学科的一个重要内容,在实际中也有着广泛应用。提出了一个新的微分系统,研究其特征值的关系。方法在研究中用到了:分部积分法、Schwartz不等式、Rayleigh定理和Young不等式等。结果通过研究得到并证明了关于特征值的2个结果:(1)定理1是用前n个特征值估计第n+1个特征值的上界的不等式,(2)定理2是前n个特征值和第n+1个特征值之间的一个关系不等式。结论提出的微分系统,可以研究并得到其特征值的关系,这些结果对微分方程组的特征值研究起到了一定的作用,在力学和物理等领域也有着广泛应用。     

双曲函数表示级数封闭形和式

国内外数论方面有关级数和式问题的研究有大量不同的方法和结果,针对如下级数和式问题:设c∈Q\{0},∑n∈z(1/n~2+c~2);∑n∈z1/((n~2+c~2)~2);∑n∈z1/(n~2-c~2);∑n∈z1/(n~4+c~4);∑n∈z1/(n~4-c~4);∞∑-∞((-1)~n)/(n~2+c~2);∞∑n=1((-1)~n)(n~3sinh(nπ)),提出应用双曲函数研究数论的性质,给出应用双曲函数表示的级数封闭形和式。利用复数棣莫弗公式、双曲函数特性、傅里叶变换以及复变函数的方法,给出这类级数和式的双曲函数表达形式。并应用留数定理对所给出的这类应用双曲函数表示的级数封闭形和式作出证明。     

平稳高斯向量序列最大值与最小值联合的几乎处处收敛

max sup 1≤p≠q≤d n≥0|rn(p,q)|＜1且ρn log n(log log n)1+ε=O(1)条件下,证明了d维标准化平稳高斯向量序列的最大值与最小值联合的几乎处处中心极限定理.