不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=33y(y+1)(y+2)(y+3)的整数解的研究

主要运用Pell方程、递推序列、同余式及(非)平方剩余等一些初等的证明方法,对不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=33y(y+1)(y+2)(y+3)的解进行了研究.证明了该不定方程仅有1组正整数解(x,y)=(9,3).同时给出了不定方程(x~2+3x+1)~2-33y~2=-32的全部整数解.     

椭圆曲线y~2=px(x~2-32)的正整数点

目的椭圆曲线的整数点是数论中的一个重要问题。设p是素数,椭圆曲线y~2=px(x~2±a),a∈Z+的整数点问题是椭圆曲线的一个重要问题。但是p为奇素数时,关于椭圆曲线y~2=px(x~2-32)的整数点问题至今仍未解决。方法利用四次Diophantine方程的已知结果,运用唯一分解定理、奇偶数的性质、同余的性质、Legendre符号的性质等初等方法。结果证明p≡5(mod8)为奇素数时,椭圆曲线y~2=px(x~2-32)至多有2个正整数点。结论研究结果对于p是素数时,椭圆曲线y~2=px(x~2±a),a∈Z+的求解有一定的借鉴作用,同时推进了该类椭圆曲线的研究。     

关于丢番图方程x~2+y~8=z~3

利用初等方法,讨论了四次丢番图方程X~4+3Y~4=Z~2的可解性,并且证明了丢番图方程x~2+y~8=z~3仅有正整数解(x,y,z)=(1549034,33,15613).     

关于Pell方程x~2-18y~2=1与y~2-Pz~2=16公解的研究

目的 Pell方程的公解是数论中的一个重要问题。设P=2p_1…ps(1≤s≤4),p_1,…,ps(1≤s≤4)是互异的奇素数,关于Pell方程组x~2-18y~2=1与y~2-Pz~2=16的整数解的初等解法至今仍未解决。方法主要利用同余的性质、Pell方程解的性质和递归序列等方法。结果得出Pell方程组x~2-18y~2=1与y~2-Pz~2=16仅当D=2×577时有非平凡公解(x,y,z)=(±19601,±4620,±136)。结论推进了该类Pell方程组整数解的研究。     

椭圆曲线y2=(x+2)(x2-2x+7)的正整数点

目的椭圆曲线的整数点问题是数论及其相关领域的一个重要课题。关于椭圆曲线y~2=(x+2)(x~2-2x+7)的正整数点问题至今仍未解决。方法利用Legendre符号的性质、同余的性质、奇偶数的性质、Pell方程解的性质等初等方法。结果证明椭圆曲线y~2=(x+2)(x~2-2x+7)无正整数点。结论研究结果对于a,b∈Z时,椭圆曲线y~2=(x+a)(x~2-ax+b)的求解有一定的借鉴作用,同时此结果推进了该类椭圆曲线的研究。     

关于不定方程x^2＋16=y^13的解

利用代数数论的方法，证明了不定方程x^2＋16=y^13无整数解．     

对不定方程x~3±27=91y~2整数解的讨论

本文主要研究不定方程x3+27=91y2的整数解,证明不定方程仅有整数解(x,y)=(-3,0)、(4,1)、(4,-1);x3-27=91y2仅有整数解(x,y)=(3,0)。     

椭圆曲线 y2 = (x +2 )( x2 -2x + p ) 的整数点

利用Legendre符号、同余式、Pell方程的解的性质等初等方法证明了:当p=36s~2-5(s∈Z+,2s),而6s~2-1,12s~2+1均为素数时,椭圆曲线y~2=(x+2)(x~2-2x+p)仅有整数点为(x,y)=(-2,0).     

椭圆曲线y~2=x~3+14x-36的整数点

运用初等方法讨论了椭圆曲线y~2=x~3+14x-36上的整数点的问题,证明了该曲线仅有整数点(x,y)=(2,0),(106,±1 092).     

关于不定方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=18y(y+1)(y+2)(y+3)

运用Pell方程、递推序列、同余式及平方剩余等初等数论知识,证明了不定方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=18y(y+1)(y+2)(y+3)仅有4组非平凡整数解(x,y)=(6, 4),(-9, 4),(6,-7),(-9,-7),同时给出该不定方程的全部整数解,分别为(x,y)=(0, 0),(0,-1),(0,-2),(0,-3),(-1, 0),(-1,-1),(-1,-2),(-1,-3),(-2, 0),(-2,-1),(-2,-2),(-2,-3),(-3, 0),(-3,-1),(-3,-2),(-3,-3),(6, 4),(-9, 4),(6,-7),(-9,-7).     

关于不定方程x~2+(p-1)y~2=pz~2

研究了一类不定方程求正整数解的问题.借助一个引理,推导并证明了不定方程x2-(p-1)y2=pz2满足(x,y)=1且p≡3(mod4)的一切正整数解的一般公式,这里p为奇素数.不定方程x2-(p-1)y2=pz2满足(x,y)=1且p≡3(mod4)的一切正整数解可表示为x=|2(p-1)ab-|m1a2-2m2b2‖,y=2ab+|m1a2-2m2b2|,z=m1a2+2m2b2.这里a,b,m1,m2均为正整数,且(a,b)=(b,m1)=(a,2m2)=1,p=2m1m2+1.     

椭圆曲线y2=x(x-1523)(x-1531)的整数点

目的针对数论和算术代数几何学的有趣问题——椭圆曲线整数点的确定,研究椭圆曲线G:y~2=x(x-1523)(x-1531)的整数点。方法运用二次和四次丢番图方程的性质。结果椭圆曲线G仅有整数点(x,y)=(0,0),(1523,0)和(1531,0)。结论所获命题,提供了研究椭圆曲线y~2=x(x-p)(x-q)整数点问题的一个思路。     

关于不定方程x3±1=1455y2 的一个初等解法

利用同余理论、递归序列,以及Pell方程解的性质证明了不定方程x3 -1=1455y2 有整数解(x,y)= (1, 0),(4366,±7563);而不定方程x3 1=1455y2 仅有整数解(x,y)= (-1,0).     

不定方程y3=x2＋1250的全部整数解

不定方程y3=x2＋k（其中k为给定的整数）曾引起许多人的兴趣.柯召、孙琦等都对此进行过研究.本文讨论了不定方程y3=x2＋1250整数解的情况,借助于平方剩余的理论缩小解的范围,同时还利用了一些初等的证明方法.最后证明了不定方程y3=x2＋1250仅有整数解（x,y）=（±9,11）.     

关于 Pell 方程组 x2-s2(s2-1 )y2 =1 与 y2-Dz2 =4的解

设D=p_1…p_j(1≤j≤3),p_1,…,p_j(1≤j≤3)是互异的奇素数.利用初等方法讨论了Pell方程组x~2-s~2(s~2-1)y~2=1(s∈Z+,s≥2)与y~2-Dz~2=4的解的情况.     

关于不定方程x3-1=103y2

利用递归数列、同余式、 Pell方程解的性质证明了不定方程x3-1=103y2仅有整数解(x, y)=(1, 0).     

不定方程x2＋mxy＋ny2=z2的一族整数解

讨论不定方程x2＋mxy＋ny2=z2满足一定条件的整数解．主要利用分解法,给出了不定方程的一族整数解．不定方程x2＋mxy＋ny2=z2的一族整数解为x=k（na2-b2）,y=k（2ab-ma2）,z=k（na2-mab＋b2）,式中m,n,k,a,b均为整数．     

关于椭圆曲线y~2=px(x~2+2)的整点研究

目的针对数论和算术代数几何学的有趣问题——椭圆曲线整点的确定,研究椭圆曲线G:y~2=px(x~2+2)的整点。方法运用二次和四次Diophantine方程的性质。结果设s是正整数,则当素数p=8(18s~2-18s+1)(9s~2-9s+1)+3时,椭圆曲线G至多有1个正整数点;当p=32s~4+1时,椭圆曲线G仅有1个正整数点(x,y)=(8s~2,128s5+4s)。结论解决了椭圆曲线G的可解性问题。即对某些特殊的素数P,椭圆曲线G至多有1个正整数点。所获命题,提供了研究椭圆曲线整点问题的一个思路。     

关于不定方程x^2＋（P-1）y^2=pz^2

研究了一类不定方程求正整数解的问题．借助一个引理,推导并证明了不定方程x^2-（P-1）y^2=pz^2满足（x,y）=1且P≡3（mod4）的一切正整数解的一般公式,这里P为奇素数．不定方程x^2-（p-1）y^2=pz^2满足（x,y）=1且p≡3（mod4）的一切正整数解可表示为x=｜2（p-1）ab-｜m1a^2-2m2b^2｜｜,y=2ab＋｜m1a^2-2m2b^2｜,z=m1a^2＋2m2b^2。这里a,b,m1,m2均为正整数,且（a,b）=（b,m1）=（a,2m2）=1,p=2m1m2＋1．     

关于椭圆曲线y~2=qx(x~2+128)的正整数点

设q≡5(mod8)为奇素数.本文主要利用同余、勒让德符号的性质等证明了椭圆曲线y~2=qx(x~2+128)至多有1个正整数点.