度量矩阵与矩阵的对角化

讨论实对称矩阵的标准形问题。对于n阶实对称矩阵A,给出了对以P-1AP=Λ中P的列向量为基所得的度量矩阵B,通过合同变换得正交矩阵T,使得T-1AT=Λ的一种的方法。     

对称矩阵的特征值逆问题研究

给出一类可逆矩阵的特殊性质,进而证明对于一类n阶对称矩阵的特征值逆问题,只需找到n个具有部分正交关系的特征向量即可,并且证明了满足条件的对称矩阵是唯一的。     

对称箭形矩阵最大最小特征对的逆特征值问题的一个有效算法

研究一个对称箭形矩阵的逆特征值问题:给定非零向量x∈Rn,y∈Rk,k≤n,以及两个实数λ＞μ,求对称箭形矩阵A,使得(λ,x)是对称箭形矩阵A的最大特征对,而(μ,y)是A的k阶顺序主子阵Ak的最小特征对.给出该问题有解的充分必要条件,并且给出一个算法计算该问题的一个解,数值实例说明是可行的.     

任意带状矩阵的求逆问题研究

对称Toeplitz矩阵、Toeplitz矩阵以及三对角矩阵在数学的众多领域有着广泛应用,尤其是三对角或更一般的带状矩阵经常被应用于解偏微分方程的有限差分法和求解变系数线性递归方程等问题之中.所谓r-带状矩阵B_(r,n),(1≤r≤n)指的是当-r≤i≤r,1≤j≤r时元素为{a_j~i},而剩下的其他元素全为零的n×n阶矩阵且r称为其带宽.在已有文献中,关于r-带状矩阵的许多特殊情况(r=1,2,3)的求逆问题已经得到彻底解决.为将这些结果一般化,对Mallik方法进行了推广,并获得了r-带状矩阵B_(r,n)的LU分解和求逆(如果存在)公式.特别地,当r=n时,它成为计算可逆方阵逆矩阵的新途径.     

谈n阶矩阵的m次方幂的通项公式

本文给出n阶矩阵A的全部不同的特征根为三个或三个以上的分解定理,并在此基础上给出这一类n阶矩阵m次方幂的通项公式.     

关于坡上矩阵的秩

对交换坡上矩阵A的行秩、列秩、Schein秩及其性质进行了探讨,证明了在已知矩阵行秩pi（A）=r的情况下,A的传递闭包t（A）=r↑∑↓k=1Ak,以及有关矩阵幂收敛和伴随矩阵的一些定理．     

N阶幻方的构造算法及其代数性质

总结了一套幻方矩阵的构造算法：分N为奇数、N为4的倍数、N为其他偶数（4n＋2的形式）3种情况构造了N阶平面幻方,并在此基础上探讨了N阶平面幻方的代数性质,得到了关于N阶平面幻方的秩和奇异值的性质：奇数阶幻方是满秩的,4k阶幻方的秩是3,4k＋2阶幻方的秩是2k＋3;n阶幻方的最大奇异值为n（n2＋1）/2;n阶幻方矩阵的2-模为n（n2＋1）/2。     

关于坡上矩阵的秩

对交换坡上矩阵A的行秩、列秩、Schein秩及其性质进行了探讨,证明了在已知矩阵行秩ρr(A)=r的情况下,A的传递闭包t(A)=∑rk=1Ak,以及有关矩阵幂收敛和伴随矩阵的一些定理.     

用初等变换求矩阵的特征值问题

依据矩阵初等变换的定理及其性质,证明了任意1个n级复矩阵A,都存在1个n级可逆矩阵p,使得p-1 AP=Λ为1个上三角矩阵.从而把求任意1个n级矩阵的特征值的问题通过初等变换转化为求上三角形矩阵的特征值的问题,并给出了求解的具体步骤.     

（m，l）秩幂等矩阵和（m，l）幂等矩阵的特性研究

如果存在自然数m,l（m〉l）使r（A^m）=r（A^l）,称A为（m,l）秩幂等矩阵;当A^m=A^l时,称A为（m,l）幂等矩阵依据矩阵的幂等性与秩幂等性不随数域的改变而改变这一基本事实,应用Jordan标准形的性质,得到了这两类既有区别又有密切联系的矩阵类的特性刻画．     

子空间上对称矩阵反问题

设 R(S)为一给定 n× n阶实矩阵 S的列空间 ,给出了矩阵方程反问题 AX =B在 R(S)上的对称阵类中有解的充分必要条件及通解的表达式 ,讨论了解对于已知矩阵的最佳逼近问题 ,给出了数值算法步骤     

正规矩阵的几个等价条件

目的 依据正规矩阵的定义、Schur引理和矩阵酉等价,以及它们的相关性质,从矩阵的酉等价和矩阵的特征值、特征向量等方面,给出了复数域上的矩阵是正规矩阵的几个等价条件.方法 由矩阵酉等价的定义、Schur引理、向量长度的定义、特征值和特征向量的相关性质、拉格朗日插值公式,对给出的几个等价条件加以证明.结果 通过酉矩阵的定义:设矩阵U∈Mn(C),若(U′)U=E,则称U为酉矩阵;Schur引理:任何一个n阶复矩阵A∈Mn(C)都酉相似于一个上三角矩阵B,即存在一个n阶酉矩阵U,使得B=(U′)AU,其中B的对角线上的元素是A的特征值;矩阵的酉等价,以及正规矩阵的性质,给出了复数域上的矩阵是正规矩阵的7个等价条件:1、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)酉等价于A的每个矩阵都是正规矩阵;2、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)(A)x∈Cn,有|Ax|=|(A′)x|.(其中,(A)y∈Cn,规定|y|=√(y′)y); 3、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)A与一个具有互异特征值的正规矩阵可交换; 4、λ∈C是给定的数,则A∈Mn(C)是正规矩阵A+λE是正规矩阵;5、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)对于所有的x,y∈Cn,有(Ax)′(Ay)=(A′x)′(A′y); 6、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)A的每个特征向量也是A′的一个特征向量;7、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)存在次数至多为n-1的多项式P(x),使得A′=P(A).结论 为以后研究正规矩阵的相关性质以及进一步推广酉矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵提供理论依据.     

奇特征有限域上对称矩阵结合方案的注记

设IFq是q个元素的有限域,q是1个奇素数的幂.取定IFq的1个非平方元z.令S(n,q)表示IFq上n×n对称矩阵的集合.合同于对角矩阵[I(r-1),]ξ(ξ=1或z)所成的矩阵类记作C(i,ξ).对于X,Y∈S(n,q),若X=Y,就说(X,Y)有关系R0;若X-Y∈C(r,ξ),就说(X,Y)∈R(r,ξ).[7]和[8]利用这种关系给出了S(n,q)上的2n个结合类R(i,ξ)(i=0,1,…n,ξ=1,2)的结合方案.给出这种结合方案的参数的两个计数定理和结合方案的对称化.     

含对称非零元的奇数阶本原矩阵的指标集

本文证明了:当n为奇数时,含对称非零元的n阶本原矩阵类B的指标集E_B的上确界为3n-4;并且E_B={1, 2, …, 3n-4},不存在缺数段;又设N(A)是A中含正元的个数,则A是含最少正元的n阶本原矩阵的充要条件是A同构于定理6中的A.     

数量幂等矩阵的秩等式的进一步研究

当存在非零数λ与μ使P2=λP,Q2=μQ时,称P,Q都是数量幂等矩阵．数量λ,μ对数量幂等矩阵P,Q起到基本的确定作用．从寻找与数量A,肛无关的数量幂等矩阵P,Q的运算的秩等式出发,得到了与λ,μ的“大小”无关的数量幂等矩阵P,Q的和、差、换位子和Jordan积的秩等式,所得结论是已有结果的有益拓展．     

关于双对称矩阵特征值的估计

对双对称矩阵，给出了一系列的特征值估计，利用其特殊的性质，通过降阶大大减少了计算工作量。     

关于n×n矩阵分解为对称矩阵的乘积问题

设F为一域,Mn(F)是F上所有n×n矩阵的集合,Gn(F)是Mn(F)中非奇异矩阵所成的乘法群。设S∈Mn(F) ,ST 表示S的转置矩阵,如果S=ST,则称S为对称矩阵。引理1　　A∈Mn(F) ,P∈Gn(F) ,若A可分解为两个对称矩阵的乘积,则P- 1 AP也可分解为两个对称矩阵的乘积。证:设A有对称矩阵分解式:A =B1 B2 ,则P- 1 AP =P- 1 B1 B2 P =P- 1 B1 (P- 1 ) TPTB2 P令S1 =P- 1 B1 (P- 1 ) T,S2 =PTB2 P ,显然S1 、S2 为对称矩阵,且有P- 1 AP =S1 S2定义1　设A =(aij)∈Mn(F) ,若有aij =an-j+1 ,n -i+ 1 ,　　( 1 )则A是关于次对角线对称…     

矩阵乘积加权广义逆几个等式的推广

研究了权矩阵为可逆阵的矩阵乘积的加权广义逆。在已有的加权广义逆矩阵存在条件及表达式的基础上,利用矩阵的秩,给出了2个及3个矩阵乘积的加权广义逆的几个表达式。     

N阶幻方的构造算法及其代数性质

总结了一套幻方矩阵的构造算法:分N为奇数、N为4的倍数、N为其他偶数(4n+2的形式)3种情况构造了N阶平面幻方,并在此基础上探讨了N阶平面幻方的代数性质,得到了关于N阶平面幻方的秩和奇异值的性质:奇数阶幻方是满秩的,4k阶幻方的秩是3,4k+2阶幻方的秩是2k+3;n阶幻方的最大奇异值为n(n2+1)2;n阶幻方矩阵的2-模为n(n2+1)2。     

着色图的重构问题

本文得到了以下结果: 1.p阶n色图,当n=p和n=p-1时,可由它的任何三个主子图重构;当n=p-2和n=p-3时,可由它的n色主子图重构。2.p阶n色图(n≤p-2),当每种颜色至多着上两个点时,可由它的n色主子图重构。