变量分离法与变系数非线性薛定谔方程的求解探索

把变量分离法应用于(1+1) 维非线性物理模型,构建了色散缓变光纤变系数非线性薛定谔方程的一类新的孤子解.作为特例,也得到了常系数非线性薛定谔方程的包络型孤子解,只是解的形式有点变化.     

2+1维非线性KDV方程组的单行波解分类

应用多项式的完全判别系统,以分类的形式给出2+1维非线性KDV方程组的单行波解,这个方法能够获得方程组的全部精确解,其中一部分是新解。同时通过赋予方程中参数具体数值,构造出单行波解的具体结构和波形图。     

一个激光方程的孤波解

给出了一个激光方程的辅助方程的新解，并利用一种基于符号计算的代数方法，结合Maple环境中的Epsilon软件包，求解激光方程iu2＋1/2uxz＋1/2（β-iF）uyy＋（1-iσ）｜u｜^2u=iyu，获得了若干其它方法不曾给出的形式更为丰富囟新的显式孤波解，其中包括双曲函数解和三角函数解。     

(G′/G)展开法求解(2+1)维PBLMP方程的新精确解

以二阶常系数微分方程为辅助方程,结合齐次平衡原理,利用(G′/G)展开法研究了(2+1)维PBLMP方程,利用Maple软件得到方程的一些新精确解,包括双曲函数解、三角函数解,扩大了解的范围。主要步骤如下:在行波变换下,将PBLMP方程变为常微分方程,假设常微分方程的解可以表示成m G′其中m为正整数,ai与a-i不同时为0,G=G(ξ)满足二阶常微分方程G″+λG′+μG i∑ai()i的形式(=-m G=0,λ和μ为待定常数),由齐次平衡原则确定多项式的次数,多项式的系数由一个非线性代数方程组解得。该方法也适用于其他非线性波动方程(组)。     

利用G'/G展开法构造非线性微分差分方程的精确解

把最近提出的G'/G展开法推广到了非线性微分差分方程,利用该方法成功构造了非线性微分差分Schr(o)dinger方程和DCCGL方程的3类涉及任意参数的精确解,当这些参数取特殊值时,可得这2个方程的钟状孤立波解、扭状孤立波解以及三角函数解等.研究结果表明,该方法是探讨非线性微分差分方程精确解的一个有效而简洁的算法.     

两类变系数KdV方程的新精确孤波解

通过试探方法得到辅助常微分方程的一些新的孤波解.利用该方程及其解,采用改进的tanh函数展开法研究了第1类和第2类变系数KdV方程,获得了在一定条件下的若干新精确孤波解.该方法也适合求解其他变系数非线性偏微分方程的孤波解.     

(2+1)维色散长波方程新的分离变量解

运用1种改进的多线性分离变量法,将（2＋1）维色散长波方程约化为含有关于{x,t}和{y,t}的任意函数的1个线性演化方程,并通过进一步改进这种方法,寻找形如f=p（x,y,t）＋q（y,t）形式的解,从而得到原方程的一些包含分离变量形式的新解.     

首次积分法下非线性偏微分方程的精确行波解

针对一类非线性偏微分方程，提出行波解的存在性问题． 通过引入波变量，利用基于交换代数环论的首次积分方法，直接得到2种非线性演化方程模型的精确行波解．首次积分法较之传统的技巧更方便、更快捷因此首次积分法在解决某些非线性方程的复杂孤波解时是一种有效并且有着巨大潜力的方法．     

差分方程xn＋1=pn＋xn/xn-1的全局性质

研究差分方程xn＋1=pn＋xn/xn-1,n=0,1,…的全局性质,其中参数pn是2周期序列,初始值x-1,x0∈（0,＋∞）。研究得到该差分方程的每个正解都全局收敛于唯一的2周期解。     

一类非线性偏微分方程行波解的分支

利用动力系统理论、分支理论和直接方法研究了一类非线性偏微分方程(NPDEs),证明了此类方程存在光滑孤立波解,扭结波解和不可数无穷多光滑周期波解,求出了该方程用参数表示的显式精确行波解。并在不同的参数条件下,给出了上述光滑孤立波解,扭结波解和不可数无穷多光滑周期波解存在的各类充分条件。     

一类耦合KGZ方程组的精确显式行波解

利用动力系统方法研究一类耦合Klein-Gordon-Zakharov方程组的行波解,得到了其孤立波与周期波解的精确显式表达式,并且给出了上述解存在的明显参数条件。研究表明,动力系统理论是求解各类复杂非线性演化方程行波解的一个非常行之有效的方法。     

具有调和势和耗散非线性项的薛定谔方程的解的存在性及集中现象

用不变集和调和分析的方法研究一类具有调和势和耗散非线性项的薛定谔方程在非线性级数项是 H1 临界时 的全局解的存在性以及非线性级数项是L2 临界时的爆破解的集中现象.     

n维热传导方程的经典解

给出了n(n＞2)维Fourier变换及其性质,并借助它们及Euler积分给出了一类高维热传导方程的Cauchy问题的经典解.     

含平方项非线性动力系统的分岔研究

用规范形理论共轭算子法研究了含平方项非线性系统，获得了方程的稳态渐近解．然后用普适开折理论分析了含平方项非线性Duffing系统的分岔响应方程，分析了余维2分岔，得到了转迁集和分岔图．得到的结果与数值模拟结果相一致．     

利用一类辅助方程求解(2+1)维KdV方程的精确孤立波解

经过对3类辅助方程引入解的特殊展开式的途径进一步拓广了辅助方程法并对关键操作步骤进行了改进,从而借助数学符号计算系统Mathematica给出(2+1)维Kd V方程的多个精确孤立波解。本文方法还可用于其它非线性方程的求解问题。     

利用G′/G展开法构造非线性微分差分方程的精确解

把最近提出的G′/G展开法推广到了非线性微分差分方程,利用该方法成功构造了非线性微分差分Schr dinger方程和DCCGL方程的3类涉及任意参数的精确解,当这些参数取特殊值时,可得这2个方程的钟状孤立波解、扭状孤立波解以及三角函数解等.研究结果表明,该方法是探讨非线性微分差分方程精确解的一个有效而简洁的算法.     

一族非线性色散偏微分方程的指数函数型和三角函数型精确解

利用辅助方程法和指数函数法,研究了由Degasperis,Holm和Hone 3人导出的一族非线性三阶扩散方程.借助于Maple程序的辅助计算,获得了大量的指数函数型、双曲函数型和三角函数型精确解,这些精确解包括孤立波解、扭子波解和周期波解,并分析和讨论了几种典型类型的精确解的动力学性质,给出了几种代表性精确解的波形图.     

Fisher方程的孤子解

利用一维波动方程的解具有行波解形式的特解的特点，给出行波解的形式．通过变量替换，再引入双曲正切函数作为独立变量，并利用双曲正切函数其独特的微分特性，给出一组变换，将Fisher方程简化为常微分方程，由此得出它的解．此解可做为物理学中非线性方程的实例．尽管不是所有的非线性波动方程都可以用此法来处理，但它缩短了线性和非线性波动理论之间的距离。     

联系广义Kaup-Newell谱问题的有限维和无穷维Hamilton系统,Darboux变换和多孤子解

从一个带有任意参数的广义Kaup-Newell谱问题出发,我们推导出与多个物理方程相联系的非线性发展方程族,并证明了该方程族在Liouville意义下可积并具有多Hamilton结构.同时在位势函数和特征函数的Bagmann约束下,将广义Kaup-Newell谱问题非线性化为一完全可积的有限维Hamilton系统.利用一种系统的方法构造了以Kundu方程为代表的N-次Darboux变换,由此得到了Kundu方程的多孤子解.     

有关方程ψ(m1m2…mn)=kψ2(m1)ψ2(m2)…ψ2(mn)的解

讨论了方程φ(m_1m_2…m_n)=kφ_2(m_1)φ_2(m_2)…φ_2(m_n)当n=2,3时的正整数解情况.基于Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_2(n)的有关性质,给出了n=2方程只在k=2,4,5,8,10,12时有正整数解的结论,并利用分类讨论和初等的方法给出当k取具体值时该方程的具体的正整数解或者正整数解的形式.同时也给出了当n=3时该方程有正整数解时的一些k值,以及相对应的正整数解的形式,这里的k∈?,?为正整数集合.