正规矩阵的几个等价条件

目的 依据正规矩阵的定义、Schur引理和矩阵酉等价,以及它们的相关性质,从矩阵的酉等价和矩阵的特征值、特征向量等方面,给出了复数域上的矩阵是正规矩阵的几个等价条件.方法 由矩阵酉等价的定义、Schur引理、向量长度的定义、特征值和特征向量的相关性质、拉格朗日插值公式,对给出的几个等价条件加以证明.结果 通过酉矩阵的定义:设矩阵U∈Mn(C),若(U′)U=E,则称U为酉矩阵;Schur引理:任何一个n阶复矩阵A∈Mn(C)都酉相似于一个上三角矩阵B,即存在一个n阶酉矩阵U,使得B=(U′)AU,其中B的对角线上的元素是A的特征值;矩阵的酉等价,以及正规矩阵的性质,给出了复数域上的矩阵是正规矩阵的7个等价条件:1、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)酉等价于A的每个矩阵都是正规矩阵;2、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)(A)x∈Cn,有|Ax|=|(A′)x|.(其中,(A)y∈Cn,规定|y|=√(y′)y); 3、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)A与一个具有互异特征值的正规矩阵可交换; 4、λ∈C是给定的数,则A∈Mn(C)是正规矩阵A+λE是正规矩阵;5、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)对于所有的x,y∈Cn,有(Ax)′(Ay)=(A′x)′(A′y); 6、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)A的每个特征向量也是A′的一个特征向量;7、A∈Mn(C)是正规矩阵(=)存在次数至多为n-1的多项式P(x),使得A′=P(A).结论 为以后研究正规矩阵的相关性质以及进一步推广酉矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵提供理论依据.     

对称箭形矩阵最大最小特征对的逆特征值问题的一个有效算法

研究一个对称箭形矩阵的逆特征值问题:给定非零向量x∈Rn,y∈Rk,k≤n,以及两个实数λ＞μ,求对称箭形矩阵A,使得(λ,x)是对称箭形矩阵A的最大特征对,而(μ,y)是A的k阶顺序主子阵Ak的最小特征对.给出该问题有解的充分必要条件,并且给出一个算法计算该问题的一个解,数值实例说明是可行的.     

局部环上矩阵模的保乘法自同态

本文研究了局部环上矩阵模保乘法自同态,主要结果是:L是非零的保乘法自同态(?)存在P∈GL_n(R),使L(A)=P~(-1)AP,(?)A∈M_n(R)。     

子阵约束下实矩阵反问题有解的条件

讨论了如下两类问题 :问题 :给定 X∈ Rn× k,B∈ Rm× k,A0 ∈ Rp× q,求 A=A1 1 　 A1 2A2 1 　 A2 2∈ Rm× n使得 AX=B,A1 1 =A0 .问题 :给定 A*∈ Rm× n ,求 A∈ SA使得‖ A* - A‖ =minA∈ SA‖A* - A‖ .其中 SA是问题 的解集合 .给出了问题 有解的充分必要条件及解集合 SA 的一般形式 .对于问题 2 ,给出了解的表达式及一个数值算法与数值例子 .     

复正定矩阵的一个判别法及若干性质

复矩阵 A∈C~(n×n)称为复正定矩阵;如果对任意非零复向量 Z∈C~n,有 R_e(Z~*AZ)>0。本文给出复正定矩阵的一个判别法和若干性质。     

方阵的相似标准形

通过在一般的数域P上引入矩阵的初等因子组的概念,利用矩阵的不变因子的性质,首先给出了一般数域上两个方阵相似当且仅当它们有相同的初等因子组,定义了数域P上的n阶矩阵A的初等因子为P(λ)l=(λs+a1λs-1+…+as)l的P-若当块,对复数域C上的n阶矩阵A的初等因子的若当块的概念作了推广.其次利用数域P上的λ-矩阵的等价性质及数域P上方阵的特征矩阵的等价标准形,给出了求数域上的特征矩阵的初等因子的方法.最后利用初等因子组给出了数域P上矩阵的P-若当标准形的概念,进而得到了一般数域P上的任何n阶矩阵A必相似与它的P-若当标准形J的结果.此结果细化了数域P上的矩阵的有理标准形.并且当数域是复数域时,P-若当标准形就是若当标准形,因此矩阵的P-若当标准形更一般.作为推论给出了实数域上方阵的相似标准形.     

关于n×n矩阵分解为对称矩阵的乘积问题

设F为一域,Mn(F)是F上所有n×n矩阵的集合,Gn(F)是Mn(F)中非奇异矩阵所成的乘法群。设S∈Mn(F) ,ST 表示S的转置矩阵,如果S=ST,则称S为对称矩阵。引理1　　A∈Mn(F) ,P∈Gn(F) ,若A可分解为两个对称矩阵的乘积,则P- 1 AP也可分解为两个对称矩阵的乘积。证:设A有对称矩阵分解式:A =B1 B2 ,则P- 1 AP =P- 1 B1 B2 P =P- 1 B1 (P- 1 ) TPTB2 P令S1 =P- 1 B1 (P- 1 ) T,S2 =PTB2 P ,显然S1 、S2 为对称矩阵,且有P- 1 AP =S1 S2定义1　设A =(aij)∈Mn(F) ,若有aij =an-j+1 ,n -i+ 1 ,　　( 1 )则A是关于次对角线对称…     

可交换幂等矩阵的性质及推广

幂等矩阵以及它们线性组合的性质在矩阵理论和概率统计中都有重要的应用。在满足AB=BA的条件下分别给出当A为幂等矩阵,B为任意方阵时,线性组合k1A+k2B为幂等矩阵的充分必要条件,并且利用该结果直接得出当A、B均为幂等矩阵时,A与B的和、差、积仍为幂等矩阵的条件;A与B的和、差、积的值域、核,分别与A,B的值域、核之间的关系;当A为幂等矩阵,B为任意方阵时,A的值域与核分别是B的不变子空间的充分必要条件。     

每一个子代数都是半理想的代数

讨论A是H—代数当且仅当A是下列形式的代数:(一)一维幂等代数;(二)B是幂零元代数;(三)A=+B;(四)A=+A_1(向量空间直和),且A_1~2=0,(?)a∈A_1,ea=a,ae=0;(五)A=+A_2(向量空间直和)且A_2~2=0,(?)a∈A_2,ae=0,ea=a;(六)A=+A_1+B(向量空间直和),(?)a∈A_1,b∈B,ab=ba=0,(?)b_1∈B,(?)b∈B,有b_1b=βb~2;(七)A=+A_2+B乘法表为,(?)a∈A_2,(?)b∈B,ab=ba=0,且(?)b_1,b∈B有bb_1=βb~2。     

对一类新的极小谱任意符号模式的刻画

若给定任意1个首1实系数n次多项式f(a),都存在1个实矩阵B∈Q(A),使得B的特征多项式为f(λ),则称A为谱任意符号模式。如果1个谱任意符号模式的任意非零元被零取代后得到的符号模式不是谱任意的,那么这个谱任意符号模式称为极小谱任意符号模式。本文给出了1类新的极小谱任意符号模式。     

关于Pell方程ax~2-by~2=±1没有正整数解的证明

关于Pell方程的正整数解问题,国内外学者进行了广泛的讨论。本文以ax~2-by~2=±1为例,通过两种解法得出10个定理,并分别进行证明,结论如下:两种解法都假设(mod 20)为素数,第一种解法当1 (q≡±3,±7)、-1 (q≡±3,±7)、-1 (q≡-1,-3,-7,-9)、1 (q≡-1,-3,-7,-9)时,Pell方程都没有正整数解;第二种解法当1 (m,t∈Z~+,q≡±1,±9),且(pi/q)=-1(i=1,2,…2s+1)时,当1 (m,t∈Z~+,q≡±3,±7),且(pi/q=-1 (i=1,2,…s)时;当-1 (m,t∈Z~+,q≡1,9),且(pi/q)=-1 (i=1,2…2s+1)时;当-1 (m,t∈Z~+,q≡-3,-7),且(pi/q)=-1 (i=1,2,…,s)时;当-1 (m,t∈Z~+,q≡3,7),且(pi/q)=-1 (i=1,2,…,s)时;当=-1 (m,t∈Z~+,q≡-1,-9),且(pi/q)=-1 (i=1,2,…2s)时,Pell方程都没有整数解。     

酉对称矩阵的Schur分解

介绍了行(列)酉对称矩阵的概念,研究了它们的性质,获得了一些新的结果.给出了行(列)酉对称矩阵的Schur分解、正交对角分解、Hermite矩阵分解和广义逆的公式及快速算法,极大地减少了计算量与存储量,而且不会丧失数值精度.     

主理想环上矩阵可对角化的新判据

矩阵的对角化问题在矩阵理论中占有重要地位。为将域上矩阵可对角化的结果进行推广,研究了主理想环上矩阵的可对角化问题,获得了主理想环上一类具有最小多项式m(λ)=(λ?α)(λ?β),α≠β的矩阵可对角化的充分必要条件。在此基础上,进一步证明了具有二次最小多项式的两个可对角化矩阵A,B有公共特征向量,当且仅当它们的交换子[A,B]是奇异矩阵。     

亚正规算子的性质

研究了亚正规算子A∈B(￡)的性质,给出了A∈B(￡)的约化子空间的充分条件,并且讨论了其与正规算子的关系.得到了定理1 设A∈B(￡)是一个亚正规算子,则以下结论成立:(1)若0相似文献   

每一个子空间都是子代数的代数

每一个子空间都是子代数的代数叫HB-代数。本文讨论了A是HB-代数当且仅当A是下列形式的代数:(一)零乘代数;(二)一维幂等代数Fe;(三)A=Fe+D是向量空间的直和,乘法表有两种,1) e~2=e,D~2=0,eD=0,(?)d∈D,de=d;2) e~2=e,D~2=0,De=0,(?)d∈D,ed=d;(四)B=sum from i(?)I+Fe_i,是向量空间的直和,乘法表有两种,1) (?)k,l∈I,e_k·e_l=e_k·2) (?)k,l∈I,e_ke_l=e_l;(五) A=B+D是向量空间的直和,A的乘法表有两种,D~2=0,1) B的乘法表为e_ke_l=e_k时,A的乘法表为e_iD=0,de_i=d,(?)i∈I,(?)d∈D;2) 当B的乘法表为e_ke_l=e_l时,A的乘法表是De_i=0,e_id=d,(?)i∈I,(?)d∈D。     

Dn中Clifford半群的结构

给出了Dn中的元是正则元的充要条件及Dn中Clifford半群的一些性质,获得了Dn中Clifford半群的结构:T Dn是Clifford半群当且仅当对 A∈T,有AA'=A'A;或对 A∈T及 i=1,2,3,…,有秩(Ai)=秩(A);或对 A∈T,存在P∈y,使得A=FP=PF,其中F=AA'.     

矩阵多项式乘积秩的恒等式的进一步研究

以实例说明了已有文献关于t个矩阵多项式乘积秩的恒等式当t≥3时未必成立,但t=2时是正确的,并重新给出了证明.     

关于矩阵方程求解的探讨

本文给出了一种解矩阵方程A·X=B的方法。首先给出了一个判断该方程是否有解的必要充分条件,并讨论了该方程与对应的齐次矩阵方程解的关系;然后着重探讨齐次矩阵方程解的问题,从而使方程求解得以解决。     

算子方程(A*)nX+X*An=B的解

设A,B是Hilbert空间H上两个有界线性算子,在A值域为闭的情况下,利用算子矩阵分块技巧研究算子方程(A*)nX+X*An=B的解,得到了该方程有解的充要条件和解的一般形式;特别地,当n=1时,研究了算子方程A*X+X*A=B的正解,给出了该方程有正解的充要条件和正解的一般形式.     

算子方程(A*)nX+X*An=B的解

设A,B是Hilbert空间H上两个有界线性算子,在A值域为闭的情况下,利用算子矩阵分块技巧研究算子方程(A*)nX+X*An=B的解,得到了该方程有解的充要条件和解的一般形式;特别地,当n=1时,研究了算子方程A*X+X*A=B的正解,给出了该方程有正解的充要条件和正解的一般形式.