有关梅森数的一个注记

运用中国剩余定理进行演算,得到大于3的梅森数的一个性质结论：当p=4k＋1时,Mp≡1（mod10）;当p=4k＋3时,Mp≡7（mod10）,这里的p均为素数.从而得到了大于3的梅森素数的个位数字为1或者7.     

Diophantine方程x~3+8=py~2有本原正整数解的必要条件

设p是奇素数.运用Pell方程的性质证明了:如果方程x~3+8=py~2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y),则必有p≡1,7(mod 24).     

丢番图方程x~3-1=pQy~2的整数解的研究

主要利用同余式、二次剩余、Legendre符号的性质等初等方法证明了p≡7(mod24)为奇素数,Q=13,109,181,229,277,421,(p/Q)=-1时,丢番图方程x3-1=p Qy2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于不定方程x~2+(p-1)y~2=pz~2

研究了一类不定方程求正整数解的问题.借助一个引理,推导并证明了不定方程x2-(p-1)y2=pz2满足(x,y)=1且p≡3(mod4)的一切正整数解的一般公式,这里p为奇素数.不定方程x2-(p-1)y2=pz2满足(x,y)=1且p≡3(mod4)的一切正整数解可表示为x=|2(p-1)ab-|m1a2-2m2b2‖,y=2ab+|m1a2-2m2b2|,z=m1a2+2m2b2.这里a,b,m1,m2均为正整数,且(a,b)=(b,m1)=(a,2m2)=1,p=2m1m2+1.     

关于Pell方程ax~2-by~2=±1没有正整数解的证明

关于Pell方程的正整数解问题,国内外学者进行了广泛的讨论。本文以ax~2-by~2=±1为例,通过两种解法得出10个定理,并分别进行证明,结论如下:两种解法都假设(mod 20)为素数,第一种解法当1 (q≡±3,±7)、-1 (q≡±3,±7)、-1 (q≡-1,-3,-7,-9)、1 (q≡-1,-3,-7,-9)时,Pell方程都没有正整数解;第二种解法当1 (m,t∈Z~+,q≡±1,±9),且(pi/q)=-1(i=1,2,…2s+1)时,当1 (m,t∈Z~+,q≡±3,±7),且(pi/q=-1 (i=1,2,…s)时;当-1 (m,t∈Z~+,q≡1,9),且(pi/q)=-1 (i=1,2…2s+1)时;当-1 (m,t∈Z~+,q≡-3,-7),且(pi/q)=-1 (i=1,2,…,s)时;当-1 (m,t∈Z~+,q≡3,7),且(pi/q)=-1 (i=1,2,…,s)时;当=-1 (m,t∈Z~+,q≡-1,-9),且(pi/q)=-1 (i=1,2,…2s)时,Pell方程都没有整数解。     

关于丢番图方程x~4-Dy~2=1

关于不定方程x‘一日y’=]柯召、孙琦在文献〔1〕〔2」仁3〕仁4〕中有许多结果。 如当D=pq(p,q为奇素数) (1)p二27(mod24),q二3(;nods)L 31 或(2)p二5(mod忿4),q二23(,,:odZ落)〔’〕 当D=Zpq(p,〔一为素数) (1)p三1(mod4),q二7(mods), 且Zp=aZ 卜2,a三士3(mo(!8),}、二士3(n,(,ds),(1)或(q)二1,〔4或(2)p二5(mods).以三3(川od4)c,方程(1)无正整数解,(日)是Legendrc符号康继鼎等人证明: pD“2P(l‘p、q为奇‘数,,(刃,-1时,方程(1)无整数解5 曹珍富证明: D=Zpq(p、‘4为奇素数),p二‘z三5(Inods)任付,方程(1)七一眨整数解“ 本文将证明…     

关于椭圆曲线y~2=qx(x~2+128)的正整数点

设q≡5(mod8)为奇素数.本文主要利用同余、勒让德符号的性质等证明了椭圆曲线y~2=qx(x~2+128)至多有1个正整数点.     

椭圆曲线y~2=px(x~2-32)的正整数点

目的椭圆曲线的整数点是数论中的一个重要问题。设p是素数,椭圆曲线y~2=px(x~2±a),a∈Z+的整数点问题是椭圆曲线的一个重要问题。但是p为奇素数时,关于椭圆曲线y~2=px(x~2-32)的整数点问题至今仍未解决。方法利用四次Diophantine方程的已知结果,运用唯一分解定理、奇偶数的性质、同余的性质、Legendre符号的性质等初等方法。结果证明p≡5(mod8)为奇素数时,椭圆曲线y~2=px(x~2-32)至多有2个正整数点。结论研究结果对于p是素数时,椭圆曲线y~2=px(x~2±a),a∈Z+的求解有一定的借鉴作用,同时推进了该类椭圆曲线的研究。     

亚纯函数及其一个微分多项式IM分担两个值的一个唯一性

设f和g为两个非常数亚纯函数,n,k,m为正整数,p(z)=amzm+am-1zm-1+…+a1z+a0或p(z)≡c0,其中a0≠0,am≠0,c0≠0为常数.若E(∞,f)=E(∞,g)El)(1,[fnp(f)](k))=E1)(1,[gnp(g)](k))且当l=3,2,1时,n,k,m分别满足n>3k+m+7,n/>4k+3/2m+8,n>7k+3m+11.则(Ⅰ)当p(z)=amzm+am-1zm-1+…+a1z+a0时,f和g满足代数方程R(f,g)≡0,其中R(w1,w2)=wn1(amwm1+am-1wm-11+…+a0)-wn2(amwma+am-1wm-22+…+a0)(Ⅱ)当p(z)≡c0时,f(z)=c1/n√c0ecx,g(x)=c2/n√c0e-cx,其中c1,c2和c满足(-1)k(c1c2)n(nc)2k=1,或者f(z)≡tg(z),(tn=1).     

椭圆曲线y~2=nx(x~2-2)的整数点

目的椭圆曲线的整数点是数论中的一个重要问题。关于椭圆曲线y2=nx(xI2-2)的整数点问题至今仍未解决。方法利用同余、Legendre符号的性质等初等方法。结果证明n≡3(mod8)为奇素数时椭圆曲线y2=nx(x2-2)无正整数点;n≡5(mod8)为奇素数时椭圆曲线y2=nx(x2-2)至多有2个正整数点。结论此结果推进了该类椭圆曲线的研究。