两类局部对偶平坦(α,β)度量的共形性质

分别研究了局部对偶平坦的Randers度量和局部对偶平坦的平方度量在共形变换下的性质.证明了两个局 部对偶平坦的Randers度量之间的共形变换必然是位似变换.对于局部对偶平坦的平方度量可得到同样的结论.     

局部射影平坦且具有迷向S-曲率的两类重要的（α,β）-度量

研究了两类重要的分别形如F=α~2/(α-β)和F=α+εβ+kβ~2/α的(α,β)-度量,其中α=aij(x)yi yj为黎曼度量,β=bi(x)yi为流形上的1-形式,ε,k≠0为常数.得到了它们为局部射影平坦且具有迷向S-曲率的充要条件.     

关于射影Ricci曲率的比较定理与共形不变性

主要研究了芬斯勒度量的射影Ricci曲率.首先,在一个完备的芬斯勒流形上,证明了关于芬斯勒度量的射影Ricci曲率的一个比较定理.其次,刻画了两个共形相关的芬斯勒度量的射影Ricci曲率的关系.在此基础上,证明了两个位似相关的芬斯勒度量的射影Ricci曲率是相等的.     

局部射影平坦且具有迷向S 曲率的两类重要的芬斯勒度量

研究了两类重要的分别形如F=αekβ/α和F=α+εβ+2kβ2/α-k2β4/3α3的芬斯勒度量,其中k≠0,ε为常数,α=((aij(x)yiyj)～(1/2))为黎曼度量,β=bi(x)yi为流形上的1-形式.得到了它们为局部射影平坦度量且具有迷向S-曲率的充要条件.     

一类对偶平坦且具有迷向S 曲率的(α,β)度量

主要研究了一类特殊的(α,β)-度量F=αφ(s),s=β/α,其中φ(s)是关于s的k(k≥2)次多项式,α是一个Riemann度量,β是一个1-形式.得到了如下结果:F是对偶平坦的度量且具有迷向S-曲率的充分必要条件是F是Minkowski度量.     

一类具有迷向Ricci曲率的(α,β)-度量

研究了一类具有迷向Ricci曲率的(α,β)-度量F=(α+β)~2/α,得到这类(α,β)-度量在n(n≥3)维流形上具有迷向Ricci曲率的充分必要条件.从而证明了在n(n≥3)维时,若这类(α,β)-度量具有常的Ricci曲率,则它的Ricci曲率为零.

Abstract：

In this paper,we consider the Finsler metric F =(α+β)~2/α,which has istropic Ricci curvature.We obtain the sufficient and necessary conditions for it to have istropic Ricci curvature on an n-dimension(n ≥ 3)manifold M.Then we prove that if such a Finsler metric on an n-dimension(n ≥3)manifold M has constant Ricci curvature,its Ricci curvature is zero.     

一类具有特殊曲率性质的(α,β)-度量

在一般的(α,β)-度量F=αφ(s)与Riemann度量α的Ricci曲率之间的关系基础上,证明了一类特殊的(α,β)-度量F=α~2/α+β南,在维数n≥3的流形上,如果F具有速向的Ricci曲率,且β是闭的1-形式,则其Ricci曲率等于零.从而得到如果F=α~2/α+β具有常Ricci曲率,并且β是闭的1-形式,则其Ricci曲率等于零.

Abstract：

We studied an important class of(α,β)-metric on the basis of the relationship of Ricci curvature between G1and a Gi.We verified that if F=α~2/α+β on an n dimension manifold M(n≥3)is of istropic Ricci curvature,i.e.Rmm=(n-1)c(x)F~2,where c(x)is a scalar function on M and β is closed 1-form,then c(x)=0.Hence,we obtained that if F=α~2/α+β is of constant Ricci curvature and β is closed,then c(x)=0.     

关于某些特殊的局部对偶平坦的Douglas(α,β)-度量

研究了某些特殊的分别形如F =α εβ kβ2α ,F =α εβ 2kβ2 α -k2β4 3α3 和F =αeβ α εβ 的(α,β) 度量,得 到了它们为局部对偶平坦的Douglas度量的充要条件.其中ε≠0,ε≠-1,k ≠0为常数,α = aij(x)yiyj 为黎曼 度量,β =bi(x)yi 为流形上的1 形式.     

一类具有迷向Ricci曲率的(α,β)-度量

计算了一类特殊的(α,β)-度量F=α εβ kβ2/α的Ricci曲率,证明了当流形维数n≥3时,若它具有迷向的Ricci曲率,则其Ricci曲率为零.从而得到若F=α εβ kβ2/α具有常数旗曲率K,则其旗曲率K为零.     

关于拟Einstein流形的射影性质

给出了Finsler空间中拟Einstein流形在射影平坦下的常曲率性质、空间特点、生成元性质, 同时研究了生成元对度量以及Ricci射影平坦性质的影响.     

一类具有迷向Ricci曲率的(α,β)-度量

计算了一类特殊的（α,β）-度量F=α＋εβ＋κβ^2／α的Ricci曲率,证明了当流形维数n≥3时,若它具有迷向的Ricci曲率,则其Ricci曲率为零．从而得到若F=α＋εβ＋κβ^2/α具有常数旗曲率K,则其旗曲率K为零.     

局部共形平坦黎曼流形上泛函F的临界度量的应用

利用泛函F的临界度量研究局部共形平坦黎曼流形,得到这类流形为空间形式的一些充分条件。     

黎曼流形上导航术问题的推广

黎曼流形上的导航术问题在芬斯勒几何中扮演着非常重要的角色. Randers度量和Kropina度量都可以由黎曼流形(M,h)上具有向量场W的导航术问题的解来刻画,其中‖W‖≤1.论文首先揭示了芬斯勒流形上的导航术问题与流形的单位切球的几何之间的重要关系.当芬斯勒流形(M,Φ)上的向量场V=V(x)满足条件Φ(x,-V_x)1时,证明了由导航数据(Φ,V)确定的芬斯勒度量F是一个正则的芬斯勒度量;当Φ(x,-V_x)=1时,证明了F是一个锥芬斯勒度量.进一步,研究了Kropina流形和Randers流形上的导航术问题.当F是流形M上的Kropina度量,且向量场V满足F(x,-V_x)≤1时,证明了由导航数据(F,V)确定的导航术问题的解■必然是Randers度量或Kropina度量;当F为Randers度量,且向量场V满足F(x,-V_x)=1时,证明了由导航数据(F,V)确定的导航术问题的解■必然是Kropina度量.     

射影 Ricci曲率及其射影不变性

研究了芬斯勒几何中一类新的几何量,即射影Ricci曲率.刻划了两个射影等价的芬斯勒度量的射影Ricci曲率的关系.特别地,在一个给定体积形式的流形上,如果两个芬斯勒度量F和F是射影等价的,那么它们的射影Ricci曲率是相等的,即此时的射影Ricci曲率是射影不变量.     

Finsler流形的Cartan型1-形式的一些性质

给出了Cartan型1 形式的外微分与Bott 陈联络的曲率之间的关系,探讨了其与畸变、S 曲率之间的关系, 证明了Berwald流形的Cartan型1 形式为恰当形式.利用Cartan型1 形式构造了Finsler流形的射影球丛上的一 个Randers度量,证明该度量为Landsberg度量的充要条件是底流形为Riemann流形.证明了Cartan型1 形式及 Cartan1 形式的对偶向量场为共型向量场的充要条件是底流形为Riemman流形.     

E-拟α-预不变型凸函数与最优化

研究了E-拟α-预不变型凸函数的性质与应用.首先,给出了E-拟α-预不变凸函数的定义,用例子说明了其存在性,并给出了在条件A与条件B下(半)严格E-拟α-预不变凸函数的等价刻画.其次,提出了E-拟α-预不变凸条件下的一类约束优化问题(NP1),证明了问题(NP1)可行解集、最优解集的E-α-不变凸性,并给出了问题(NP1)局部最优解的性质.最后,讨论了E-α-预不变凸函数的性质,给出了该类函数的等价刻画,获得了不等式约束下E-α-预不变凸多目标规划问题(MOP1)的最优性结果,并举例验证了所得结论的正确性.     

Finsler 流形的 Cartan 型1形式的一些性质

给出了 Cartan 型1形式的外微分与 Bott 陈联络的曲率之间的关系，探讨了其与畸变、 S 曲率之间的关系，证明了 Berwald 流形的 Cartan 型1形式为恰当形式。利用 Cartan 型1形式构造了 Finsler 流形的射影球丛上的一个 Randers 度量，证明该度量为 Landsberg 度量的充要条件是底流形为 Riemann 流形。证明了 Cartan 型1形式及Cartan 1形式的对偶向量场为共型向量场的充要条件是底流形为 Riemman 流形。     

对称的(α,β)度量的性质

对称的Finsler度量具有非常好的性质,有重要的研究价值.主要研究了对称的(α,β)度量的曲率性质,得到了对称的(α,β)度量的S-曲率,相对迷向平均Landsberg曲率之间的等价关系,并解决了沈忠民教授所提出的开放性问题的第4个问题中当F是(α,β)度量的情形是否存在对称的(α,β)度量,当它是非Berwald度量时有S=0.     

推广的Douglas-Weyl空间

首先证明了R-齐次的Finsler度量是推广的Douglas-Weyl度量,其次举例说明了R-齐次的Finsler空间在射影变换下不是闭的.     

平面凸体的α-周长及等周不等式

Brunn-Minkowski不等式是凸几何分析的重要研究内容.目前,关于体积等几何量的Brunn-Minkowski不等式已广为人知,并在数学各个分支中扮演着重要的角色.关于凸体表面积的Brunn-Minkowski不等式作为Aleksandrov-Fenchel不等式的特殊情况也得到确证.但在L_p Brunn-Minkowski理论中,L_p表面积测度的Brunn-Minkowski不等式仍是一个重要的公开问题,不论是对0p1,还是p1的情形,都没有行之有效的方法来证明相关猜测.基于Minkowski加法,利用单调有界定理和积分中值定理研究了平面凸体的α-周长,提出了两凸体关于α-周长的Brunn-Minkowski型不等式,并对两凸体分别为正n边形和单位圆盘的情形给出了证明.