关于不定方程x~2+(p-1)y~2=pz~2

研究了一类不定方程求正整数解的问题.借助一个引理,推导并证明了不定方程x2-(p-1)y2=pz2满足(x,y)=1且p≡3(mod4)的一切正整数解的一般公式,这里p为奇素数.不定方程x2-(p-1)y2=pz2满足(x,y)=1且p≡3(mod4)的一切正整数解可表示为x=|2(p-1)ab-|m1a2-2m2b2‖,y=2ab+|m1a2-2m2b2|,z=m1a2+2m2b2.这里a,b,m1,m2均为正整数,且(a,b)=(b,m1)=(a,2m2)=1,p=2m1m2+1.     

不定方程x2-py2=z2的正整数解

研究了一类不定方程求正整数解的问题.借助一个引理,推导并证明了不定方程x^2-py^2=z^2（p为奇素数）正整数解的一般公式.不定方程x^2-py^2=z^2（p为奇素数）满足（x,y）=1的一切正整数解可表示为x=12（a^2＋pb^2）,y=ab,z=│12a2-pb2│,这里a〉0,b〉0,a,b都是奇数,p a;或x=a^2＋pb^2,y=2ab,z=│a2-pb2│,这里a〉0,b〉0,a,b一奇一偶,p a.     

不定方程x^2-py^2=z^2的正整数解

研究了一类不定方程求正整数解的问题.借助一个引理,推导并证明了不定方程x^2-py^2=z^2（p为奇素数）正整数解的一般公式.不定方程x^2-py^2=z^2（p为奇素数）满足（x,y）=1的一切正整数解可表示为x=12（a^2＋pb^2）,y=ab,z=│12a2-pb2│,这里a〉0,b〉0,a,b都是奇数,p a;或x=a^2＋pb^2,y=2ab,z=│a2-pb2│,这里a〉0,b〉0,a,b一奇一偶,p a.     

关于不定方程x3-1=103y2

利用递归数列、同余式、Pell方程解的性质证明了不定方程x^3-1=103y^2仅有整数解（x,y）=（1,0）.     

不定方程x2＋mxy＋ny2=z2的一族整数解

讨论不定方程x2＋mxy＋ny2=z2满足一定条件的整数解．主要利用分解法,给出了不定方程的一族整数解．不定方程x2＋mxy＋ny2=z2的一族整数解为x=k（na2-b2）,y=k（2ab-ma2）,z=k（na2-mab＋b2）,式中m,n,k,a,b均为整数．     

关于一类纯指数Diophantine方程

设a,b,c是给定的正整数。运用初等数论方法证明了:当a+b2l-1=c2,b≡23(mod24),c是适合c≡-1(modb2l)的奇数,其中l是任意正整数时,方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(1,2l-1,2)。     

Diophantine方程x~3+8=py~2有本原正整数解的必要条件

设p是奇素数.运用Pell方程的性质证明了:如果方程x~3+8=py~2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y),则必有p≡1,7(mod 24).     

所有非次正规子群都共轭的有限群

证明了有限群G有非次正规子群且彼此共轭的充要条件是G=〈a, b1, b2, …, bβ｜a^（p^α）=1=b1^q=b2^q=…=bβ^q; [bi, bj]=1, i,j=1,2,…,β;bi^a=b（i＋1）, i=1,2,…,β-1; bβ^a=b1^d1b2^d2…bβ^dβ〉其f（x）=x^β-dβx^（β-1）-…-d2x-d1在Fq上不可约,且为x^p-1的因子．     

关于不定方程1/x+1/y+1/z +1/w+1/xyzw=0的一点注记

利用初等方法研究了不定方程1/x＋1/y＋1/z＋1/w＋1/xyzw=1/z＋1/w以及1/x＋1/y＋1/z=1/w＋1/xyzw的正整数解问题,分别给出了它们的全部正整数解的公式：（x,y,z,w）=[（n＋k,n（n＋k）-d]/k,n2（n＋k）2-n（n＋k）d-k/kd,n）其中n,k,d为正整数,     

关于不定方程1/x＋1/y＋1/z＋1/w＋1/xyzw=0的一点注记

利用初等方法研究了不定方程1/x＋1/y＋1/z＋1/w＋1/xyzw=1/z＋1/w以及1/x＋1/y＋1/z=1/w＋1/xyzw的正整数解问题,分别给出了它们的全部正整数解的公式：（x,y,z,w）=[（n＋k,n（n＋k）-d]/k,n2（n＋k）2-n（n＋k）d-k/kd,n）其中n,k,d为正整数,     

不定方程y3=x2＋1250的全部整数解

不定方程y3=x2＋k（其中k为给定的整数）曾引起许多人的兴趣.柯召、孙琦等都对此进行过研究.本文讨论了不定方程y3=x2＋1250整数解的情况,借助于平方剩余的理论缩小解的范围,同时还利用了一些初等的证明方法.最后证明了不定方程y3=x2＋1250仅有整数解（x,y）=（±9,11）.     

带源的非牛顿多方渗流方程解的不存在性

研究了一类具有强非线性源的非牛顿多方渗流方程ut=div（▽｜um｜p-2▽um）＋uq第一边值问题在初值满足一定条件时整体解的不存在性.结果表明：当u0（x）∈W10,p（Ω）∩L∞（Ω）时,若q≥m（p-1）〉1,∫Ω｜▽u0m｜＋dx/（m＋q）≥∫Ω｜▽u0m｜pdx/mp,则原方程的解在有限时间内发生爆破.     

丢番图方程x~3-1=pQy~2的整数解的研究

主要利用同余式、二次剩余、Legendre符号的性质等初等方法证明了p≡7(mod24)为奇素数,Q=13,109,181,229,277,421,(p/Q)=-1时,丢番图方程x3-1=p Qy2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=33y(y+1)(y+2)(y+3)的整数解的研究

主要运用Pell方程、递推序列、同余式及(非)平方剩余等一些初等的证明方法,对不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=33y(y+1)(y+2)(y+3)的解进行了研究.证明了该不定方程仅有1组正整数解(x,y)=(9,3).同时给出了不定方程(x~2+3x+1)~2-33y~2=-32的全部整数解.     

关于不定方程x^2＋16=y^13的解

利用代数数论的方法，证明了不定方程x^2＋16=y^13无整数解．     

椭圆曲线y~2=nx(x~2-2)的整数点

目的椭圆曲线的整数点是数论中的一个重要问题。关于椭圆曲线y2=nx(xI2-2)的整数点问题至今仍未解决。方法利用同余、Legendre符号的性质等初等方法。结果证明n≡3(mod8)为奇素数时椭圆曲线y2=nx(x2-2)无正整数点;n≡5(mod8)为奇素数时椭圆曲线y2=nx(x2-2)至多有2个正整数点。结论此结果推进了该类椭圆曲线的研究。     

正交Euler-Lagrange型三次方程的Ulam稳定性

研究了正交Euler-Lagrange型三次方程Ef（x,y）f（mx＋y）＋f（mx-y）-mf（x＋y）-mf（x-y）-2m（m2-1）f（x）=0在混合型积和函数F（x,y）=ε{xEpypE＋（xE2p＋yE2p）}和泛函H（x,y）限制下的Ulam稳定性.     

关于不定方程z^2＋2（2xy）^2=（x^2-y^2＋2xy）^2

目的 在于简化一类不定方程特解的求法.方法 利用无穷递降法.结果 给出了不定方程z2+2(2xy)2=(x2-y2+2xy)2的正整数解.结论 不定方程z2+2(2xy)2=(x2-y2+2xy)2有正整数解(x,y,z)=(3,2,1) 及(x,y,z)=(1469,84,2372159).     

对不定方程x~3±27=91y~2整数解的讨论

本文主要研究不定方程x3+27=91y2的整数解,证明不定方程仅有整数解(x,y)=(-3,0)、(4,1)、(4,-1);x3-27=91y2仅有整数解(x,y)=(3,0)。     

关于不定方程x3±1=1455y2 的一个初等解法

利用同余理论、递归序列,以及Pell方程解的性质证明了不定方程x3 -1=1455y2 有整数解(x,y)= (1, 0),(4366,±7563);而不定方程x3 1=1455y2 仅有整数解(x,y)= (-1,0).