利用函数凸性证明不等式

目的不等式在高等数学中的应用非常广泛,地位举足轻重,正确使用不等式可使复杂的数学问题简单化,由于它的应用方法灵活、抽象、逻辑性较强,所以不易掌握。而在不等式的证明中,有些看似复杂的问题,利用函数的凸性可以很轻松地解决。方法从解析定义、几何解释和直观描述性定义3个方面介绍凸函数定义,再揭示凸函数的判定定理和性质,其中重点把握凸函数的Jensen不等式,在前述内容的基础上建立凸函数框架统一证明初等不等式,并推证一些著名不等式。结果通过举例的方式,巧妙地构造凸函数,利用函数凸性加以证明,确实使大部分不等式的证明更加简洁明了。结论在高等数学教学中,利用函数的单调性给出了特殊函数不等式的证明方法,使复杂问题简单化,学生在学习过程中容易接受,并增加学生学习高等数学的积极性。但不等式的证明方法繁多,难度、技巧性都很大,比如导数定义法、拉格朗日中值定理法、幂级数展开法等,把应用这些方法证明不等式和利用函数凸性证明不等式结合起来,相互补充,不断总结归纳,可以拓宽知识面,提升解题能力。     

分数次Hardy算子的交换子在Lipschitz空间上的端点估计

主要研究分数次Hardy算子和Lipschitz函数生成的交换子在Lipschitz空间上的端点估计.分数次积分算子的方法不适用于分数次Hardy算子,将给出新的方法,同时也将考虑分数次极大算子的交换子的结果.     

非线性复微分方程的解与Hω∞空间

利用直接的积分估计,研究非线性复微分方程(f~(k))~(n_k)+A_(k-1)(z)(f~(k-1))~(n_(k-1))+…+A_1(z)(f′)~(n_1)+A_0(z)f=Ak(z)解的函数空间属性,刻画了方程的解析解,以及它们的导数属于H∞ω空间时系数需要满足的条件.改善及推广了已有的相关结果.     

AR凸函数的Hermite-Hadamard型不等式

建立AR凸函数的积分不等式,特别是Hermite-Hadamard型不等式.利用通常凸函数与AR凸函数的关系,证明了AR凸函数的单侧导数的存在性和单调性,并通过不等式建立了AR凸函数与其单侧导数的关系.从AR凸函数的定义出发,得到了AR凸函数的Hermite-Hadamard型不等式.利用AR凸函数与其单侧导数的关系,使用数学分析的方法,研究了由AR凸函数的Hermite-Hadamard型不等式生成的差值.利用AR凸函数与其单侧导数的关系,构造了与AR凸函数有关的单调函数,从而给出AR凸函数的定积分的上界和下界.另外,利用AR凸函数与其单侧导数的关系,还建立了AR凸函数的其他的积分不等式.     

平面凸体的α-周长及等周不等式

Brunn-Minkowski不等式是凸几何分析的重要研究内容.目前,关于体积等几何量的Brunn-Minkowski不等式已广为人知,并在数学各个分支中扮演着重要的角色.关于凸体表面积的Brunn-Minkowski不等式作为Aleksandrov-Fenchel不等式的特殊情况也得到确证.但在L_p Brunn-Minkowski理论中,L_p表面积测度的Brunn-Minkowski不等式仍是一个重要的公开问题,不论是对0p1,还是p1的情形,都没有行之有效的方法来证明相关猜测.基于Minkowski加法,利用单调有界定理和积分中值定理研究了平面凸体的α-周长,提出了两凸体关于α-周长的Brunn-Minkowski型不等式,并对两凸体分别为正n边形和单位圆盘的情形给出了证明.     

最优控制问题的Tikhonov正则化

主要研究了约束线性二次最优控制问题.通过一阶最优性条件将它等价地转化为单调变分不等式问题,并利用变分不等式的Tikhonov正则化方法研究了约束线性二次最优控制问题的正则化,证明了扰动问题的解收敛到原问题的最小范数解.     

巧用拉格朗日中值定理

巧用拉格朗日中值定理确定方程的根的存在性、求函数极限以及研究函数在区间上的性态、证明调和级数的敛散性、证明不等式和恒等式。     

具有外部扰动的离散广义系统有限时间控制

讨论一类具有有限能量的外部扰动的线性离散广义系统的有限时间控制问题。分析问题可解性，得到该问题可解的充分条件，通过状态反馈控制器和输出反馈控制器的设计，给出实现闭环系统有限时间有界的充分条件，这些充分条件可以转化为线性矩阵不等式(LMI)的可行解问题，可借助Matlab中的LMI工具箱求解，最后通过数值算例验证该方法的有效性。     

一类新的带有参数δ∈[1,2)的分数阶可微变分不等式的拓扑处理方法

在已有的变分不等式、可微变分不等式、分数阶可微变分不等式的模型的基础上,对一类新的带有参数δ∈[1,2)的分数阶可微变分不等式模型的解的存在性进行了相关的分析和研究.首先,在已有的分数阶可微变分不等式的模型基础上加了一个参数δ∈[1,2),得到了一类新的带有参数δ∈[1,2)的分数阶可微变分不等式模型,对这类新模型给出了详细的阐述;然后证明出该模型的解是非空的.     

具有混合故障模型的时滞系统的可靠控制

针对线性定常时滞系统,基于Lyapunov稳定性理论,讨论考虑执行器具有混合故障的系统存在可靠控制器的充分条件,并结合时滞系统相关处理方法和线性矩阵不等式完成状态反馈可靠控制器的设计。数值仿真验证了本文控制器设计方法的可行性。